6道大一逻辑题目的答案

鲁虺

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6道大一逻辑题目的答案


综合题(每小题12分，共24分)
1.口袋里有红、黄、黑、白四个球，某人从口袋里取出若千个小球，五人作了如下猜测:
A:或者没有红球，或者有黑球:如果没有黄球，那么有白球。
B:要么没有黄球，要么有黑球;若有白球，则没有红球。
C:是红球和黑球;如果没有红球，那么有黄球。
D;只要有黄球，就有白球:只有有红球，才有黑球。
E:除非没有白球，才有黑球:不是有红球，就是没有白球。
五人的猜测中，各有一句是正确的，各有一句是错误的。
请回答:某人取出的小球个数是几个?取出的小球颜色分别是?请写出推导过程。


根据题目，五人的猜测中，各有一句是正确的，各有一句是错误的。

假设某人取出了 4 个小球，并且将它们依次标记为 A、B、C、D。

根据条件可以列出以下五个命题：

A: (¬R ∨ B) ∧ (¬Y → W)
B: (¬Y ∨ B) ∧ (W → ¬R)
C: (R ∧ B) ∨ (¬R ∧ Y)
D: (H → W) ∧ (R → B)
E: (¬W → ¬B) ∧ (R →¬W)

其中，R 代表红色球，Y 代表黄色球，B 代表黑色球，W 代表白色球，H 代表黄色球（H 为便于书写而设）。

根据题目要求，“各有一句是正确的，各有一句是错误的”，因此我们可以分别假定这五个命题中的两个为真，其他三个为假，进行推导求解。

假设 A 和 B 正确，C、D、E 错误
根据 A 知道，必然有黑球或者没有红球，因此我们可以将 ABCD 四个球分为“有黑球”和“没有黑球”两类来讨论。

如果有黑球，根据 D 知道，必然有白球，那么由 B 知道，没有红球，那么只能有黄球，因此此时的组合是：B、C、D、H。

如果没有黑球，根据 A 知道，必然有白球，那么由 B 知道，没有红球，那么只能有黄球，因此此时的组合是：A、B、C、H。

综上所述，当 A 和 B 正确，C、D、E 错误时，某人取出的小球为 4 个，颜色分别为 黑、黄、白、黄 或 黑、黄、黄、白。

假设 A 和 C 正确，B、D、E 错误
根据 C 知道，必然有红球或者有黄球。如果有红球，则根据 A 知道，必然有黑球或者没有黄球。如果没有黄球，则根据 A 知道，必然有白球。因此可以将 ABCD 四个球分为“有红球”和“没有红球”两类来讨论。

如果有红球，则根据 A 知道，必然有黑球或者没有黄球。如果没有黄球，则根据 B 知道，必然有黑球，同时由于没有红球，根据 C 可知，必然有黄球，因此此时的组合是：A、B、C、Y。

如果有黄球，则根据 A 知道，必然有黑球，同时由于有黄球，根据 D 知道，必然有白球，因此此时的组合是：A、C、D、W。

综上所述，当 A 和 C 正确，B、D、E 错误时，某人取出的小球为 4 个，颜色分别为 黑、红、黄、白 或 红、黄、黑、白。

假设 B 和 C 正确，A、D、E 错误
根据 B 可知，必然没有红球，因此可以将 ABCD 四个球分为“没有红球”和“有红球”两类来讨论。

如果有红球，则根据 C 可知，必然有黑球，那么根据 B 矛盾，因此猜测 B 错误，此情况不成立。

如果没有红球，则根据 C 可知，必然有黄球，那么根据 B 可知，必然有黑球，那么根据 D 可知，必然有白球，因此此时的组合是：B、C、D、Y。

综上所述，当 B 和 C 正确，A、D、E 错误时，某人取出的小球为 4 个，颜色分别为 黑、黄、白、黄。

因此，最终得到的答案是：某人取出的小球个数是 4 个，分别为 黑、黄、白、黄 或 黑、黄、黄、白。








2.请用形式证明的方法证明下列推理形式有效。
p V q→t, pV s, ¬ (¬q∧¬u)，¬t←rト s∧u ← !


为了证明这个推理形式的有效性，我们需要采用证明方法。

设前提集为 P，结论为 Q。可以假设 P 的所有命题为真，然后推导出 Q 也为真即可证明此 syllogism 有效。

p V q → t (前提)
p V s (前提)
¬(¬q ∧ ¬u) (前提)
¬t ← r (前提)
s ∧ u       (结论)

假设 P 的所有命题为真，即假设前提集 P 为真。

根据前提 4，有 ¬¬t → r，即 t → r。因此如果 t 为假，则 r 也为假。（转化反命题）

假设 t 为假，即将 t 的真值设为假，那么根据 1 可知，p V q 必为假，而 p V s 必为真，因此只能是 q 为真，而 t 为假，但是这与假设的 t 为假矛盾。因此 t 必为真。

假设 q 为假，那么 ¬q 为真，而根据前提 3 可知，¬q ∧ ¬u 为假，那么 ¬(¬q ∧ ¬u) 必为真，这与前提 3 矛盾，因此 q 必为真。

根据前提 1，有 p V q → t，而经过前面的推导，我们得知 t 必为真，那么 p V q 必为真。

假设 p 为假，那么根据前提 2 可知，s 必为真。因此我们可以得到结论：s ∧ u，其中 u 的真值无所谓，因为它并没有在前提中出现。

因此，当前提集为 P 时，结论 Q 为真。因此此 syllogism 是有效的。

综上所述，我们已经证明了此推理形式的有效性。












2.请用简化真值表方法判定下列推理是否有效:
p → q, ¬sVr, ¬q←r├ ¬s ∧ ¬p





我们可以使用简化真值表的方法来判定此推理是否有效：

p        q        r        s        ¬sVr        p→q        ¬q←r        ¬s ∧ ¬p
T        T        T        T        T        T        F        F
T        T        T        F        T        T        F        F
T        T        F        T        F        T        T        F
T        T        F        F        F        T        T        F
T        F        T        T        T        F        F        F
T        F        T        F        T        F        F        F
T        F        F        T        F        F        T        F
T        F        F        F        F        F        T        T
F        T        T        T        T        T        F        T
F        T        T        F        T        T        F        T
F        T        F        T        F        T        T        T
F        T        F        F        F        T        T        T
F        F        T        T        T        T        F        T
F        F        T        F        T        T        F        T
F        F        F        T        F        T        T        T
F        F        F        F        F        T        T        T
在最后一列中，当前提命题为真时，结论为假。因此此推理是无效的。













2.下列推理形式中，有效的是( )( )
① ¬p←q∧r, ¬ qVr├ p ② pvq，q→r， ¬s←г├ s→p
③ p→q’ p上¬q ④¬q^p←r, ¬г├¬p ⑤ (р∧¬q) ∨ (¬p∧q), р├ ¬q



有效的推理形式是：①和⑤。

①的证明：

首先假设前提集P的所有命题都为真。
根据前提2，有 ¬qVr，即如果 q 为假，则 r 必为真。因此，如果 r 为假，则 q 也必为真。（转化逆命题）
假设 r 为假，那么根据步骤2可得 q 必为真。又根据前提1，可以知道 ¬p←q∧r，在此情况下，¬p必须为假，因此 p 必须为真。因此，当前提命题为真时，结论p也为真，证明了此推理的有效性。
⑤的证明：

首先假设前提集P的所有命题都为真。
根据前提 5，有 (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)，因此我们可以将两种情况分别讨论：
如果 p ∧ ¬q 为真，则根据前提 4 可知 ¬г为真。因此，根据前提 5，我们可以知道 ¬q 为真，因此当前提命题为真时，结论 ¬q 也为真。
如果 ¬p ∧ q 为真，则根据前提 5，我们可以知道 q 为真。又因为前提 2 中说 q → r，因此 r 也为真。因此，在此情况下，前提 4 和前提 1 都在当前提命题为真时成立，因此结论 ¬p 也为真。
综上所述，我们已经证明了此推理的有效性。
因此，选项是：①和⑤。















3.下列推理形式中，无效的是()( )
① ¬pVq, q→r├ ┤r←p ② p→q∧r， ¬q F ¬pVs
③ p→ ¬p ├ ¬p∧r
④ p├¬p→q ⑤ p←s↔q^r, р├ qv¬r




无效的推理形式是：③和⑤。

③的证明：

首先假设前提集P的所有命题都为真。
根据前提1，p→¬p，因此p必须为假，否则推出矛盾。因为前提3只给出了一个条件语句，没有其他前提可以推出结果，因此无法根据前提集推出结论，即此推理无效。
⑤的证明：

首先假设前提集P的所有命题都为真。
根据前提5，有p ← s ↔ q^r，即s为真时，q和r必须同时为真；s为假时，q和r必须同时为假。因为前提中并没有给出s的真假值，因此无法根据前提集推出结论，即此推理无效。
因此，选项是：③和⑤。

















4.若“pVq”为真，且“p∧q”为假时，下列公式必然为真的是()()
①p→qVr ② q←p∧q ③¬p↔(p→q)
④ pΛ(qVr)
⑤ pV(qΛr)



若“pVq”为真，且“p∧q”为假时，必然为真的公式是⑤。

因为“pVq”为真，可以知道p和q中至少有一个为真，也就是说p为真或q为真。而“p∧q”为假，则p和q不能同时为真，因此只有一种情况，即p为假，q为真。在这种情况下，公式⑤成立。因为p为假，所以整个公式等价于qVr，而q为真，因此公式⑤必然为真。

而对于其他选项：
① 无法确定结论真假，因为根据前提条件无法推导出更多信息。
② 当“p∧q”为假时，p必须为假，因此q ← p∧q为假，即公式②不成立。
③ 当p为假时，公式③等价于¬p↔true，因此公式③必然为真，但如果p为真，那么公式就与前提条件不符。
④ 当“p∧q”为假时，p必须为假，因此pΛ(qVr)为假，即公式④不成立。
综上所述，只有公式⑤必然为真。